Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為E，F，AE，CF分別與BD交于點G和H，且AB=．

（1）若tan∠ABE =2，求CF的長；

（2）求證：BG=DH．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質，結合三角函數的定義，在Rt△CFD中，可求得CF=2DF，利用勾股定理可求得CF的長；

（2）利用平行四邊形的性質結合條件可證得△AGD≌△CHB，則可求得BH=DG，從而可證得BG=DH．

試題解析：解：（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CDF=∠ABE，DC=AB=，∵tan∠ABE=2，∴tan∠CDF=2，∵CF⊥AD，∴△CFD是直角三角形，∴=2，設DF=x，則CF=2x，在Rt△CFD中，由勾股定理可得（2x）2+x2=（）2，解得x=2或x=﹣2（舍去），∴CF=4；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠GAD=∠HCB=90°，∴△AGD≌△CHB，∴BH=DG，∴BG=DH．