如圖,在⊙O中有一點(diǎn)M,M與O不重合,(1)過(guò)M點(diǎn)畫(huà)一條弦,使得這條弦是過(guò)M點(diǎn)最長(zhǎng)的弦,(2)過(guò)M點(diǎn)畫(huà)一條弦CD,使得CM=DM,并證明CD是過(guò)M點(diǎn)的弦中最短的一條弦.
過(guò)O、M兩點(diǎn)作弦AB,AB是⊙O的直徑,因此是最長(zhǎng)的弦. 過(guò)M點(diǎn)作CD⊥AB,垂足為M,與⊙O交于C、D,根據(jù)垂徑定理可知CM=DM. 證明CD是過(guò)M點(diǎn)的最短的弦如下: 如圖,EF是過(guò)M點(diǎn)任意一條弦,作OH⊥EF于H,連接OE、OD. OD2=OM2+DM2,OE2=OH2+EH2, 則EH2+OH2=OM2+DM2. 在Rt△OHM中,OM>OH,∴EH2>DM2,而EH>0,DM>0,∴ EH>DM,則EF>CD,所以CD是過(guò)M點(diǎn)的最短的弦. |
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