Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，△ABO的面積是3．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求直線AB的解析式；
（3）在線段OB的垂直平分線m上是否存在點(diǎn)M，使△AOM得周長(zhǎng)最短？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（4）過點(diǎn)A作直線AN與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)N，且使AN=OA，求△ABN的面積．

Answer 1

解：（1）設(shè)B（a，0），作AE⊥x軸于點(diǎn)E，作AH⊥y軸于點(diǎn)H，
∴BO=-a，
∵A（2，3），
∴AE=3，AH=2，
∴=3，
∴a=-2，
∴B（-2，0）

（2）設(shè)AB的解析式為：y=kx+b，由題意，得
，解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x+．

（3）存在點(diǎn)M，M（-1，）．

（4）如圖，當(dāng)AN交x軸于點(diǎn)N時(shí)，
∴△AEO≌△AEN，
∴OE=EN=2，
∴BN=6，
∴S_△ABN==9，
當(dāng)AN′交y軸于點(diǎn)N′時(shí)，可得OH=HN′=3，
∴ON′=6，
在直線AB上，當(dāng)x=0時(shí)，y=，
∴OG=，
∴GN′=，
∴S_△ABN′=+=9，
∴△ABN的面積為：9
分析：（1）設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，表示出BO的長(zhǎng)度，作AE⊥x軸于點(diǎn)額E，作AH⊥y軸于點(diǎn)H，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)求出AE的值，利用三角形的面積公式就可以求出就可以求出BO的值，從而求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）運(yùn)用待定系數(shù)法根據(jù)A、B的坐標(biāo)就可以求出直線AB的解析式．
（3）作出OB的垂直平分線m交OB于點(diǎn)F，與AB的交點(diǎn)就是M點(diǎn)，由垂直平分線的意義就可以求出M的橫坐標(biāo)，再代入AB的解析式就可以求出M的坐標(biāo)．
（4）當(dāng)AN交x軸于點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)N′是由全等三角形就可以求出ON或ON′的長(zhǎng)由點(diǎn)A的坐標(biāo)就可以求出△ABN的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，軸對(duì)稱中的最短路線問題．