Question

【題目】如圖，以A（0， ）為圓心的圓與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，與y軸相交于點(diǎn)B，弦BD的延長線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)E，且∠BEO＝60°，AD的延長線交x軸于點(diǎn)C．

（1）分別求點(diǎn)E、C的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且以過E而平行于y軸的直線為對(duì)稱軸的拋物線的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與AC的交點(diǎn)為M，試判斷以M點(diǎn)為圓心，ME為半徑的圓與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－3，0）（2）（3）⊙M與⊙A外切

【解析】試題分析：（1）已知了A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出圓的半徑和直徑，可在直角三角形BOE中，根據(jù)∠BEO和OB的長求出OE的長進(jìn)而可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可在直角三角形OAC中求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）已知了對(duì)稱軸的解析式，可據(jù)此求出C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)此點(diǎn)坐標(biāo)以及C，A的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（3）兩圓應(yīng)該外切，由于直線DE∥OB，因此∠MED=∠ABD，由于AB=AD，那么∠ADB=∠ABD，將相等的角進(jìn)行置換后可得出∠MED=∠MDE，即ME=MD，因此兩圓的圓心距AM=ME+AD，即兩圓的半徑和，因此兩圓外切.

試題解析：（1）在Rt△EOB中， ，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（－2，0）．

在Rt△COA中， ，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－3，0）．

（2）∵點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為F（－1，0），

　點(diǎn)C與點(diǎn)F（－1，0）都在拋物線上．

　設(shè)，用代入得

，

∴．　　

∴，即

．

（3）⊙M與⊙A外切，證明如下：

∵ME∥y軸，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴⊙M與⊙A外切．