Question

一透明的敞口正方體容器ABCD -A′B′C′D′ 裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α （∠CBE = α，如圖1所示）．

探究 如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB′ 交于點(diǎn)Q，此時(shí)液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如

圖2所示．解決問題：

（1）CQ與BE的位置關(guān)系是       ，BQ的長是       dm；

（2）求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V液 = 底面積S_BCQ×高AB）

（3）求α的度數(shù).(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)

拓展 在圖1的基礎(chǔ)上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出，圖3或圖4是其正面示意圖.若液面與棱C′C或CB交于點(diǎn)P，設(shè)PC = x，BQ = y.分別就圖3和圖4求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的α的范圍.

延伸 在圖4的基礎(chǔ)上，于容器底部正中間位置，嵌入一平行于側(cè)面的長方形隔板（厚度忽略不計(jì)），得到圖5，隔板高NM =" 1" dm，BM = CM，NM⊥BC.繼續(xù)向右緩慢旋轉(zhuǎn)，當(dāng)α = 60°時(shí)，通過計(jì)算，判斷溢出容器的液體能否達(dá)到4 dm³.

 

Answer 1

【答案】

（1）CQ∥BE， 3。

（2）。

（3）37°。

拓展：y=-x+3．   37°≤α≤53°。

延伸：溢出液體可以達(dá)到4dm³

【解析】

分析：探究：（1）根據(jù)水面與水平面平行可以得到CQ與BE平行，利用勾股定理即可求得BD的長：

。

（2）液體正好是一個(gè)以△BCQ是底面的直棱柱，據(jù)此即可求得液體的體積；。

（3）根據(jù)液體體積不變，據(jù)此即可列方程求解。

拓展：分容器向左旋轉(zhuǎn)和容器向右旋轉(zhuǎn)兩種情況討論。

延伸：當(dāng)α=60°時(shí)，如圖6所示，設(shè)FN∥EB，GB′∥EB，過點(diǎn)G作GH⊥BB′于點(diǎn)H，此時(shí)容器內(nèi)液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱，求得棱柱的體積，即可求得溢出的水的體積，據(jù)此即可作出判斷。

探究：（1）CQ∥BE， 3。

（2）。

（3）在Rt△BCQ中，，∴α=∠BCQ=37°。

拓展：當(dāng)容器向左旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖3，0°≤α≤37°，

∵液體體積不變，∴。

∴y=-x+3．

當(dāng)容器向右旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，同理可得：。

當(dāng)液面恰好到達(dá)容器口沿，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B′重合時(shí)，如圖，

由BB′=4，且，得PB=3，

∴由tan∠PB′B=，得∠PB′B=37°�！唳�=∠B′PB=53°。

此時(shí)37°≤α≤53°。

延伸：當(dāng)α=60°時(shí)，如圖所示，設(shè)FN∥EB，GB′∥EB，過點(diǎn)G作GH⊥BB′于點(diǎn)H。

在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，

∴HB′=2。

∴MG=BH=4－2＜MN。

此時(shí)容器內(nèi)液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱。

∵，

∴。

∴溢出液體可以達(dá)到4dm³