Question

如圖1，在正方形ABCD中，若點(diǎn)E是△DBC內(nèi)的一點(diǎn)，且DE=DC，BE=CE．
（1）連接AE．說(shuō)明△ABE≌△DCE的理由；
（2）求∠BDE與∠CDE度數(shù)的比值；
（3）拓展探索：若只將題中的條件“正方形ABCD”換成條件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，2∠DBC=∠DCB”．如圖2，研究∠BDE與∠CDE度數(shù)的比值是否與（2）中的結(jié)論相同，寫出你的研究結(jié)果并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB；
又∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB（等腰對(duì)等角），
∴∠ABE=∠DCE；
∴△ABE≌△DCE；

（2）解：∵BE=CE，
∴點(diǎn)E在邊BC的中線上，
∴AE=DE；
又∵DE=DC，AD=DC，
∴AE=DE=AD，
∴∠ADE=60°；
∵∠ADB=45°，∠BDE=∠ADE-∠ADB，
∴∠BDE=15°；
∵∠CDE=∠CDB-∠BDE，∠CDB=45°，
∴∠CDE=30°；
∴∠BDE：∠CDE=1：2；

（3）相同．
證明：連接AE．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BCD；
又∵2∠DBC=∠DCB，
∴∠ABD=∠DBC；
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD；
∵DE=DC，AB=DC，又由（2）知，AE=ED，
∴AE=ED=AD，
∴三角形AED是等邊三角形；
∴∠ADE=60°；
∵∠ADB=30°，∠BDE=∠ADE-∠ADB，
∴∠BDE=30°，∠DBC=30°，
∵2∠DBC=∠DCB，
∴∠DCB=60°；
∴∠CDB=90°，
∵∠CDE=∠CDB-∠BDE，
∴∠CDE=60°；
∴∠BDE：∠CDE=1：2．
分析：（1）根據(jù)三角形的判定定理SAS來(lái)證明△ABE≌△DCE；
（2）根據(jù)正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)求得∠ADB的值，然后由已知條件推出點(diǎn)E是邊BC中線上的一點(diǎn)，知△AED是等邊三角形，最后求出∠BDE與∠CDE度數(shù)并求比值；
（3）首先根據(jù)等腰梯形及等腰三角形的性質(zhì)，可以推出△ADE是等邊三角形．如果∠DBC=a，則∠DCB=2a，∠BDE=60°-a，∠CDE=120°-2a，所以比值依然是1：2．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．在解答此題時(shí)，要靈活運(yùn)用正方形的邊長(zhǎng)、正三角形的角的特點(diǎn)．