Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，點(diǎn)P為邊AC上一點(diǎn)，且AP＝5cm．點(diǎn)Q為邊AB上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），若點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)A'恰好落在△ABC的邊上，則AQ的長(zhǎng)為_____cm．

Answer 1

【答案】或4．

【解析】

由對(duì)稱可知AP=A'P，AQ=A'Q，由勾股定理可計(jì)算A'C，A'P，作A'H⊥AB構(gòu)造直角三角形，用勾股定理列方程組即可計(jì)算AQ的長(zhǎng)．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，

∴BC＝6cm，

①若點(diǎn)A'落在BC上，如圖：

點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)A'，

∵點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)A'，

∴A'Q＝AQ，AP＝A'P，

∵AP＝5，

∴PC＝3，A'C＝4，A'B＝2，

∴A'A＝4，

作A'H垂直AB，由勾股定理可得：

，

設(shè)AQ＝AQ'＝x，BH＝y，

∴，

解得：，

故AQ的長(zhǎng)為．

②若點(diǎn)A'落在AB上，如圖：

∵點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)A'，

∴PQ⊥AB，

∴△APQ～△ABC，

∴，

∴，

∴AQ＝4．

綜上所述：若點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)A'恰好落在△ABC的邊上，則AQ的長(zhǎng)為或4cm．

故答案為或4．