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如圖,直線y=x+b(b≠0)交坐標軸于A、B兩點,交雙曲線y=
2
x
(x>0)于點D,過D作兩坐標軸的垂線DC、DE,垂足為C、E.
(1)求證:AD平分∠CDE;
(2)對任意的實數b(b≠0),求證:BE•OE為定值.
考點:反比例函數綜合題
專題:計算題
分析:(1)先用b表示出A點坐標為(-b,0),B點坐標為(0,b),則OA=OB,得到△OAB為等腰直角三角形,得到∠OAB=45°,則∠DAC=∠OAB=45°,而DC⊥x軸,DE⊥y軸,易得∠ACD=∠CDE=90°,∠ADC=45°,即可得到結論;
(2)根據(1)中分析可知,△OAB為等腰直角三角形,由于ED∥OC,則△BED為等腰直角三角形,可知ED=BE,則BE•OE可化為ED•OE,即OC•DC,為三角形OCD的面積.
解答:解:(1)證明:對于y=x+b,令x=0,則y=b;令y=0,則x=-b,
∴A點坐標為(-b,0),B點坐標為(0,b),
∴OA=OB,
∴△OAB為等腰直角三角形,
∴∠OAB=45°,
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x軸,DE⊥y軸,
∴∠ACD=∠CDE=90°,
∴∠ADC=45°,
∴AD平分∠CDE;

(2)∵△OAB為等腰直角三角形,
又∵ED∥OC,
∴△BED為等腰直角三角形,
∴ED=BE,
則BE•OE可化為ED•OE,
即OC•DC,
∴BE•OE=ED•OE=OC•DC=S△OCD=2×
1
2
=1為定值.
點評:本題考查了反比例函數綜合題,巧妙利用等腰直角三角形的性質和反比例函數k的幾何意義是解題的關鍵.
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