Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點，如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動中保持AN=BM，請你判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：連OA，由AC=AB，∠BAC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，并且AO⊥BC，則∠NAO=∠B=45°，根據(jù)全等三角形的判定得到△NAO≌△MBO，則 ON=OM，∠AON=∠BOM，又∠BOM+∠AOM=90°，得到∠AON+∠AOM=90°，于是可判斷△OMN是等腰直角三角形．

解答：證明：△OMN為等腰直角三角形．理由如下：
連接OA，如圖，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO 中，

AN=BM ∠NAO=∠B AO=BO

，
∴△NAO≌△MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中點，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對應(yīng)相等，并且它們的夾角也相等的兩三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定．