Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－4，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0，b)(b＞0)．P是直線AB上的一個動點(diǎn)，作PC⊥x軸，垂足為C．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(點(diǎn)不在y軸上)，連接P，A，C．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．

(1)當(dāng)b＝3時，

①求直線AB的解析式；

②若點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1，m)，求m的值；

(2)若點(diǎn)P在第一象限，記直線AB與C的交點(diǎn)為D．當(dāng)D∶DC＝1∶3時，求a的值；

(3)是否同時存在a，b，使△CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋3， 　　把x＝－4，y＝0代入得：－4k＋3＝0， 　　∴k＝， 　　∴直線的解析式是：y＝x＋3，　3分 　　②由已知得點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1，m)， 　　∴m＝×1＋3＝；　4分 　　(2)∵P∥AC， 　　△PD∽△ACD， 　　∴，即＝， 　　∴a＝；　6分 　　(3)以下分三種情況討論． 　�、佼�(dāng)點(diǎn)P在第一象限時， 　　1)若∠AC＝90°，A＝C(如圖1)過點(diǎn)作H⊥x軸于點(diǎn)H． 　　∴P＝CH＝AH＝H＝AC． 　　∴2a＝(a＋4) 　　∴a＝ 　　∵H＝PC＝AC，△ACP∽△AOB 　　∴＝，即＝， 　　∴b＝2　8分 　　2)若∠AC＝90°，A＝CA(如圖2) 　　則P＝AC 　　∴2a＝a＋4 　　∴a＝4 　　∵A＝PC＝AC，△ACP∽△AOB 　　∴＝＝1，即＝1 　　∴b＝4　10分 　　3)若∠CA＝90°， 　　則點(diǎn)，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾． 　　∴△CA不可能是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形． 　�、诋�(dāng)點(diǎn)P在第二象限時，∠CA為鈍角(如圖3)，此時△CA不可能是等腰直角三角形； 　�、郛�(dāng)P在第三象限時，∠CA為鈍角(如圖4)，此時△CA不可能是等腰直角三角形． 　　∴所有滿足條件的a，b的值為 　　或　12分