Question

如圖，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O為坐標原點，OC為x軸，OA為y軸建立平面直角坐標系。設D，E分別是線段AC，OC上的動點，它們同時出發(fā)，點D以每秒3個單位的速度從點A向點C運動，點E以每秒1個單位的速度從點C向點O運動，設運動時間為t秒。
（1）求直線AC的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示點D的坐標；
（3）當y為何值時，△ODE為直角三角形？
（4）在什么條件下，以Rt△ODE的三個頂點能確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線？并請選擇一種情況，求出所確定拋物線的解析式。

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得CO=AB=4，則A（0，3），B（4，3），
∴直線AC：；
（2）分別作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分別為F，H，
則有△ADF∽△DCH∽△ACO，
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5，
∴FD=AD=，AF=AD=，
DH=，HC=，
∴D（，）；
（3）CE=t，E（t，0），OE=OC-CE=4-t，HE=|CH-CE|=，
則OD²=DH²+OH²=，
DE²=DH²+HE²=，
當△ODE為Rt△時，有OD²+DE²=OE²，或OD²+OE²=DE²，或DE²+OE²=OD²，
即①，
或②，
或③，
上述三個方程在0≤t≤內的所有實數(shù)解為
t₁=，t₂=1，t₃=0，t₄=；
（4）當DO⊥OE，及DE⊥OE時，即填t₃=0和t₄=時，
以Rt△ODE的三個頂點不確定對稱軸平行于y軸的拋物線，
其它兩種情況都可以各確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線
D（），E（4-t，0）
當t₂=1時，D（），E（3，0），
因為拋物線過O（0，0），
所以設所求拋物線為y=ax²+bx，將點D，E坐標代入，求得a=-，b=，
∴所求拋物線為y=-x²＋ｘ。
（當t₁=時，所求拋物線為y=x²+x）