Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥B

C．設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．

(1)求證EO＝FO；

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形，并證明你的結(jié)論；

(3)若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，且＝，求∠B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵M(jìn)N∥BC，∴∠1＝∠5． 　　又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠5． 　　∴OE＝OC． 　　同理OF＝OC，∴OE＝OF． 　　(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC邊的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．以下給出證明． 　　由(1)知OE＝OF，又OA＝OC， 　　∴四邊形AECF是平行四邊形． 　　∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝， 　　而∠1＝∠2，∠3＝∠4， 　　∴∠2＋∠3＝． 　　∴平行四邊形AECF是矩形． 　　(3)如圖2，若四邊形AECF是正方形，則AC⊥EF．而EF∥BC，∴AC⊥BC．△ABC是直角三角形，其中∠ACB是直角． 　　在等腰直角△AEC中，AC＝AE．又已知＝，BC＝AE．在Rt△ABC中，tan∠B＝＝＝，∴∠B＝．

提示：

由已知條件易證出EO＝CO，F(xiàn)O＝CO，從而得出EO＝FO．第(2)小問當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形．因?yàn)榫匦问翘厥獾钠叫兴倪呅�，所以要先滿足是平行四邊形，再判斷是矩形．第(3)小問條件又強(qiáng)化了，AECF是正方形． 　　該題的三個(gè)小問題緊密相連，其中前一個(gè)小問題的結(jié)論，又變成了后一個(gè)小問題的條件．要順利、完整地解答此題，必須對四邊形、平行四邊形、矩形、正方形這些集合間的“包含”關(guān)系有一個(gè)清晰的認(rèn)識(如圖1)．對第(1)小問，要證EO＝FO，只要注意到CO的橋梁作用即可．對第(2)小問，因?yàn)橐延蠩O＝FO，故要使四邊形AECF為矩形，首先必須令A(yù)O＝CO，即令點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)處，此時(shí)可判定四邊形AECF為平行四邊形．為了進(jìn)一步判定它為矩形，只要再證它有一個(gè)內(nèi)角為即可．第(3)小問則首先肯定四邊形AECF是一個(gè)正方形，這時(shí)為解題方便，應(yīng)該再作一個(gè)符合條件的新圖形(如圖2)．在Rt△ABC中，由于AC、BC都可以用AE來表示，因此可以得到∠B的正切值，進(jìn)而求得∠B的大小．