Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的對稱軸為直線x=1，且圖象與x軸交于A、B兩點，AB=2．若關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t為實數(shù)），在-2＜x＜的范圍內(nèi)有實數(shù)解，則t的取值范圍是________．

Answer 1

-1≤t＜8
分析：利用二次函數(shù)y=x²+bx+c的對稱軸為直線x=1，且圖象與x軸交于A、B兩點，AB=2，可求b的值，再利用拋物線的對稱性可求A、B兩點的坐標(biāo)，從而可求c，那么關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t為實數(shù)）可化為x²-2x-t=0，利用公式法求出x，結(jié)合-2＜x＜的范圍內(nèi)有實數(shù)解，可求出相應(yīng)的x的取值范圍．
解答：∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的對稱軸為直線x=1，
∴=1，
解得：b=-2，
∵對稱軸為直線x=1，且圖象與x軸交于A、B兩點，AB=2，
∴直線與x軸交于（2，0），（0，0），
∴當(dāng)x=0時，0+0+c=0，
∴c=0，
∴關(guān)于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t為實數(shù)）為x²-2x-t=0，
∴△=b²-4ac=4+4t≥0，
解得t≥-1，
又∵x=，
∴x=1±，
∵在-2＜x＜的范圍內(nèi)有實數(shù)解，
∴1-＞-2，
＜3，
∴t＜8
1+＜，
＜，
∴t＜
∴-1≤t＜8．
故答案為：-1≤t＜8．
點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與橫軸的交點問題、以及拋物線的對稱問題．解決本題的關(guān)鍵是正確的理解并應(yīng)用拋物線與橫軸的交點橫坐標(biāo)就是方程的解．