Question

巳知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝3 cm，∠C＝60°，BD⊥CD． (1) 求BC、AD的長度； (2) 若點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2 cm／秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以1 cm／秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)時(shí)，寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍(不包含點(diǎn)P在B、C兩點(diǎn)的情況)； (3) 在⑵的前提下，是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1∶5？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	在Rt△BCD中，CD＝3 cm，∠C＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝2CD＝6 cm，由已知得：梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝30°，又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB＝3 cm；
(2)	當(dāng)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BP＝2t，CQ＝t，∴PC＝6－2t，過Q作QE⊥BC于E，則QE＝CQsin60°＝，∴S△PCQ＝ 　　S梯形ABCD＝∴S五邊形ABPQD＝S梯形ABCD－S△PCQ＝(0＜t＜3)；
(3)	存在時(shí)刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1∶5，∵S梯開ABCD＝S△ABD＝∴S△ABD＝×S梯形ABCD，∴五邊形ABPQD的面積不可能是梯形ABCD的面積的，∴S△PCQ∶S五邊形ABPQD＝1∶5，即S五邊形ABPQD＝S梯形ABCD，∴整理得：4t2－12t＋9＝0，∴t＝，即：當(dāng)t＝秒時(shí)，PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1∶5．