Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝3，若點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=3，求出∠APC=120°，當(dāng)PB⊥AC時(shí)，PB長(zhǎng)度最小，設(shè)垂足為D，此時(shí)PA=PC，由等邊三角形的性質(zhì)得出AD=CD=AC=，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，求出PD=AD．tan30°=AD=，BD=AD=，即可得出答案．

解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，

∵∠PAB＝∠ACP，

∴∠PAC+∠ACP＝60°，

∴∠APC＝120°，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，當(dāng)O、P、B共線時(shí)，PB長(zhǎng)度最小，設(shè)OB交AC于D，如圖所示：

此時(shí)PA＝PC，OB⊥AC，

則AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，

∴PD＝ADtan30°＝×＝，

BD＝AD＝，

∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．

故答案為：．