如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,點(diǎn)D為對角線OB的中點(diǎn),點(diǎn)E(4,n)在邊AB上,反比例函數(shù)(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D、E,且tan∠BOA=
.
(1)求邊AB的長;
(2)求反比例函數(shù)的解析式和n的值;
(3)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F,將矩形折疊,使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合,折痕分別與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G,求線段OG的長.
考點(diǎn):反比例函數(shù)綜合題。
解答:解:(1)∵點(diǎn)E(4,n)在邊AB上,
∴OA=4,
在Rt△AOB中,∵tan∠BOA=,
∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2;
(2)根據(jù)(1),可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,2),
∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn),
∴點(diǎn)D(2,1)
∴=1,
解得k=2,
∴反比例函數(shù)解析式為y=,
又∵點(diǎn)E(4,n)在反比例函數(shù)圖象上,
∴=n,
解得n=;
(3)如圖,設(shè)點(diǎn)F(a,2),
∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F,
∴=2,
解得a=1,
∴CF=1,
連接FG,設(shè)OG=t,則OG=FG=t,CG=2﹣t,
在Rt△CGF中,GF2=CF2+CG2,
即t2=(2﹣t)2+12,
解得t=,
∴OG=t=.
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