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△ABC是等邊三角形,點D是射線BC上的一個動點(點D不與點B、C重合),△ADE是以AD為邊的等邊三角形,過點E作BC的平行線,分別交射線AB、AC于點F、G,連接BE.
(1)如圖(a)所示,當點D在線段BC上時.
①求證:△AEB≌△ADC;
②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形?并說明理由;
(2)如圖(b)所示,當點D在BC的延長線上時,直接寫出(1)中的兩個結論是否成立;
(3)在(2)的情況下,當點D運動到什么位置時,四邊形BCGE是菱形?并說明理由.
【答案】分析:此題要熟練多方面的知識,特別是全等三角形和平行四邊形和菱形的判定.
解答:證明:(1)①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.(1分)
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,
∴∠EAB=∠DAC,
∴△AEB≌△ADC(SAS).(3分)

②方法一:由①得△AEB≌△ADC,
∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,
∴∠ABE=∠BAC,
∴EB∥GC.(5分)
又∵EG∥BC,
∴四邊形BCGE是平行四邊形.(6分)

方法二:證出△AEG≌△ADB,得EG=AB=BC.(5分)
∵EG∥BC,
∴四邊形BCGE是平行四邊形.(6分)

(2)①②都成立.(8分)

(3)當CD=CB (∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)時,四邊形BCGE是菱形.(9分)
理由:方法一:由①得△AEB≌△ADC,
∴BE=CD(10分)
又∵CD=CB,
∴BE=CB.(11分)
由②得四邊形BCGE是平行四邊形,
∴四邊形BCGE是菱形.(12分)

方法二:由①得△AEB≌△ADC,
∴BE=CD.(9分)
又∵四邊形BCGE是菱形,
∴BE=CB(11分)
∴CD=CB.(12分)

方法三:∵四邊形BCGE是平行四邊形,
∴BE∥CG,EG∥BC,
∴∠FBE=∠BAC=60°,∠F=∠ABC=60°(9分)
∴∠F=∠FBE=60°,∴△BEF是等邊三角形.(10分)
又∵AB=BC,四邊形BCGE是菱形,
∴AB=BE=BF,
∴AE⊥FG(11分)
∴∠EAG=30°,
∵∠EAD=60°,
∴∠CAD=30度.(12分)
點評:本題考查三角形的全等以及菱形的判定.
練習冊系列答案
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已知a、b、c是△ABC的三條邊長,若x=-1為關于x的一元二次方程(c-b)x2-2(b-a)x+(a-b)=0的根.
(1)△ABC是等腰三角形嗎?△ABC是等邊三角形嗎?請寫出你的結論并證明;
(2)若代數(shù)式子
a-2
+
2-a
有意義,且b為方程y2-8y+15=0的根,求△ABC的周長.

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,△ABC是等邊三角形,D、E分別是BC、CA上的點,且BD=CE.
(1)求證:AD=BE;(2)求∠AFE的度數(shù).

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如圖,△ABC是等邊三角形,
(1)用直尺和圓規(guī)作邊BC的高線AD交BC于點D(保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)若△ABC的邊長為2,求△ABC的面積.

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(2009•裕華區(qū)二模)已知,如圖△ABC是等邊三角形,將一塊含30°角的直角三角板DEF如圖放置,讓△ABC在BC所在的直線l上向左平移.當點B與點E重合時,點A恰好落在三角板的斜邊DF上的M點,點C在N點位置上(假定AB、AC與三角板斜邊的交點為G、H)
問:(1)在△ABC平移過程中,通過測量CH、CF的長度,猜想CH、CF滿足的數(shù)量關系;
(2)在△ABC平移過程中,通過測量BE、AH的長度,猜想BE.AH滿足的數(shù)量關系;
(3)證明(2)中你的猜想.(證明不得含有圖中未標示的字母)

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在△ABC中,AB=AC,若要使△ABC是等邊三角形,那么需添加一個條件:
AB=BC
AB=BC
∠A=60°
∠A=60°
(從不同角度填空).

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