Question

在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，Q是CD上任意一點(diǎn)，DP⊥AQ，交BC于點(diǎn)P．
求證：（1）DQ=CP；
（2）OP⊥OQ．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明DQ=CP，證明△DCP≌△ADQ即可．
（2）要證明OP⊥OQ，證明∠POQ=90°即可，證明△OPC≌△OQD得到∠POC=∠QOD即可．
解答：解：
（1）∵AD=CD，∠DCP=∠ADQ，
∠DQM+∠PDC=90°，∠DQM+∠DAQ=90°，
∴∠PDC=∠QAD，
在△DCP和△ADQ中，
，
∴△DCP≌△ADQ，
∴DQ=CP．

（2）在△OPC和△OQD中，
∵
∴△OPC≌△OQD，
∴∠POC=∠QOD，
∵∠QOD+∠QOC=90°
∴∠POC+∠QOC=∠POQ=90°，即OQ⊥OP．
點(diǎn)評：本題考查了正方形對角線互相垂直平分，考查了正方形四條邊均相等，且各內(nèi)角均為直角，解本題的關(guān)鍵是找出正確的全等三角形并進(jìn)行證明，找出正確的對應(yīng)角、對應(yīng)邊解題．