Question

在△ABC中，∠ACB＝45°．點(diǎn)D(與點(diǎn)B、C不重合)為射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

(1)如果AB＝AC．如圖，且點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)．試判斷線(xiàn)段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

(2)如果AB≠AC，如圖，且點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)．(1)中結(jié)論是否成立，為什么？

(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線(xiàn)與線(xiàn)段CF所在直線(xiàn)相交于點(diǎn)P，設(shè)AC＝，BC＝3，CD＝x，求線(xiàn)段CP的長(zhǎng)．(用含x的式子表示)

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)CF與BD位置關(guān)系是垂直；

　　證明如下：AB＝AC，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝45°．

　　由正方形ADEF得AD＝AF，∵∠DAF＝∠BAC＝90°，

　　∴∠DAB＝∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF＝∠ABD．

　　∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

　　(2)CF⊥BD．(1)中結(jié)論成立．

　　理由是：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，∴AC＝AG

　　可證：△GAD≌△CAF　∴∠ACF＝∠AGD＝45°

　　∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．即CF⊥BD

　　(3)過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，

　�、冱c(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

　　∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．∴DQ＝4－x，

　　易證△AQD∽△DCP，∴，∴，

　　．

　�、邳c(diǎn)D在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

　　∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4，∴DQ＝4＋x．

　　過(guò)A作交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，則．CF⊥BD，

　　△AQD∽△DCP，∴，∴，

　　．