Question

【題目】如圖，將一塊直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)放在C（1，）處，兩直角邊分別與x，y軸平行，紙板的另兩個(gè)頂點(diǎn)A，B恰好是直線y=kx+與雙曲線y=（m＞0）的交點(diǎn)．

（1）求m和k的值；

（2）設(shè)雙曲線y=（m＞0）在A，B之間的部分為L，讓一把三角尺的直角頂點(diǎn)P在L上滑動(dòng)，兩直角邊始終與坐標(biāo)軸平行，且與線段AB交于M，N兩點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠翊嬖邳c(diǎn)P使得MN=AB，寫出你的探究過程和結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）k=﹣；m=4 ；（2）不存在，理由見解析．

【解析】

（1）由題意易知點(diǎn)A橫坐標(biāo)為1，代入y=，可用含m的代數(shù)式表示它的縱坐標(biāo)；同理可表示點(diǎn)B坐標(biāo)，再代入方程組即可求m和k的值；

（2）用反證法證明．假設(shè)存在，運(yùn)用一元二次方程判別式即可解出．

解：（1）∵A，B在雙曲線y=（m＞0）上，AC∥y軸，BC∥x軸，

∴A，B的坐標(biāo)分別（1，m），（2m，）

又點(diǎn)A，B在直線y=kx+上，

∴

解得或

當(dāng)k=﹣4且m=時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都是（1，），不合題意，應(yīng)舍去；

當(dāng)k=﹣且m=4時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4），（8，，符合題意．

∴k=﹣，m=4．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P使得MN=AB．

∵AC∥y軸，MP∥y軸，

∴AC∥MP，

∴∠PMN=∠CAB，

∴Rt△ACB∽R(shí)t△MPN，

∴，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，）（1＜x＜8），

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為M（x，﹣x+），

∴MP=﹣x+-．

又∵AC=4﹣，

∴，即2x2﹣11x+16=0（※）

∵△=（﹣11）2﹣4×2×16=﹣7＜0．

∴方程（※）無實(shí)數(shù)根．

∴不存在點(diǎn)P使得MN=AB．