Question

【題目】 如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于C點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，A（-1，0），B（3，0）．

（1）求出二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）點(diǎn)P在x軸上，且∠PCB=∠CBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）在x軸上方拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q，C，B，O為頂點(diǎn)的四邊形被對(duì)角線分成面積相等的兩部分？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（6，0）或P；（3）存在，點(diǎn)Q或．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入解析式求出b、c的值即可得；

（2）∠PCB=∠CBD有兩種情況，①P在B的右側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)H，由∠OCB=∠OBC=45°，可證明∠HCB=∠CBP，從而△PCB≌△HBC，由直線BD即可求得：OH=OP=6，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)；②P在B的左側(cè)時(shí)，此時(shí)PC∥BD，根據(jù)一次函數(shù)解析式即可求出P；

（3）分以下兩種情況分別求解，①點(diǎn)Q在y軸右側(cè)時(shí)，由OB=OC，可得出OQ是∠BOC的平分線，聯(lián)立二次函數(shù)解析式與直線OQ的解析式即可求解；②點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時(shí)，可得這條對(duì)角線只能是BQ，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線EF，過(guò)點(diǎn)Q，B分別作EF的垂線，垂足分別為F，E，延長(zhǎng)FQ交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，n)，根據(jù)S△BOQ=S△CBQ=S梯形FQBE-S△FCQ-S△BEC可得出關(guān)于m，n的關(guān)系式，再與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立即可求解．

解：（1）將點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）代入y=-x2+bx+c得，

，解得，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+3；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)H，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則

，解得，即直線BD的解析式為y=-2x+6，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（0，6），

∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠HCB=∠CBP=135°，

又∠PCB=∠CBD，BC=BC，

∴△PCB≌△HBC，

∴CH=PB，

∴OH=OB=6，

故此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）；

②當(dāng)點(diǎn)P（P′）在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

直線BD的表達(dá)式為：y=-2x+6，

∵∠P′CB=∠CBD，則P′C∥BD，

則直線P′C的表達(dá)式為：y=-2x+3，

當(dāng)y=0，x=，故此時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）或；

（3）存在．理由如下：①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右側(cè)時(shí)，以Q，C，B，O為頂點(diǎn)的四邊形被對(duì)角線分成面積相等的兩部分，這條對(duì)角線只能是OQ，S△COQ=S△BOQ，如圖，

而OB=OC，故OQ是∠BOC的平分線，

即OQ的函數(shù)表達(dá)式為：y=x，

將y=x與y=-x2+2x+3聯(lián)立得，

-x2+2x+3=x，解得x=（舍去負(fù)值），

故此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）；

②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時(shí)，以Q，C，B，O為頂點(diǎn)的四邊形被對(duì)角線分成面積相等的兩部分，這條對(duì)角線只能是BQ，S△BOQ=S△CBQ，如圖，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線EF，過(guò)點(diǎn)Q，B分別作EF的垂線，垂足分別為F，E，延長(zhǎng)FQ交x軸于點(diǎn)G，則QG⊥x軸，BE=CO=3=FG，BO=CE=3，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，n)，則QG=n，FQ=3-n，OG=FC=-m，

∴S△BOQ=×3×n，

S△CBQ=S梯形FQBE-S△FCQ-S△BEC=×（3-n+3）×（3-m）-×(-m)×(3-n)-×3×3=(9-3m-3n)，

∴×3×n(9-3m-3n)，即m+2n=3①，

又點(diǎn)Q在二次函數(shù)圖象上得，n=-m2+2m+3②，

聯(lián)立①②得，，解得（舍去），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-，）；

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．