(2008•鄂州)設(shè)x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的兩實根,當a為何值時,x12+x22有最小值?最小值是多少?
【答案】
分析:設(shè)x
1,x
2是關(guān)于x的一元二次方程x
2+2ax+a
2+4a-2=0的兩實根,首先:△=(2a)
2-4(a
2+4a-2)≥0可求得a≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/0.png)
,得到了關(guān)于a的取值范圍.對要求值的式子化簡:x
12+x
22=(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=2(a-2)
2-4,設(shè)y=2(a-2)
2-4,這是一個關(guān)于a的一元二次方程,其對稱軸是a=2,開口方向向上.根據(jù)開口向上的二次函數(shù)的性質(zhì):距對稱軸越近,其函數(shù)值越小.故在a≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/1.png)
的范圍內(nèi),當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/2.png)
時,x
12+x
22的值最��;此時
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/3.png)
,即最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/4.png)
.
解答:解:∵△=(2a)
2-4(a
2+4a-2)≥0,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/5.png)
又∵x
1+x
2=-2a,x
1x
2=a
2+4a-2.
∴x
12+x
22=(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=2(a-2)
2-4.
設(shè)y=2(a-2)
2-4,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì).
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/6.png)
∴當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/7.png)
時,x
12+x
22的值最�。�
此時
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/8.png)
,即最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/9.png)
.
點評:本題考查一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)關(guān)系,兩根之和是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/10.png)
,兩根之積是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231454981917766/SYS201310212314549819177028_DA/11.png)
.還考查了用二次函數(shù)性質(zhì)解決二次三項式的最小值問題可以轉(zhuǎn)化為利用二次函數(shù)解決.