Question

（2012•岳陽一模）如圖，已知拋物線與x軸交于A（-4，0）和B（1，0）兩點，與y軸交于C（0，-2）點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設G是線段BC上的動點，作GH∥AC交AB于H，連接CH，當△BGH的面積是△CGH面積的3倍時，求H點的坐標；
（3）若M為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過M作y軸的平行線，交AC于N，當M點運動到什么位置時，線段MN的值最大，并求此時M點的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線與x軸的兩個交點，可將其解析式設為交點式，再代入C點的坐標求解即可．
（2）對于△BGH和△CGH可看作是兩個等高的三角形，那么它們的面積比等于底邊的比，由此可以看出BG：GC=3：1，即：BG：GC=3：4，而已知了GH∥AC，那么BH：BA=BG：BC，BA、BC的長易得，則BH的長可求，則H點的坐標不難得出．
（3）首先要求出的是直線AC的解析式，然后設出點M、N的坐標，它們縱坐標差的絕對值就是MN的長，可據(jù)此求得關于MN長的函數(shù)關系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來解即可．

解答：解：（1）設拋物線的解析式：y=a（x+4）（x-1），代入C（0，-2），得：
-2=a（0+4）（0-1），
解得：a=

1

2

故拋物線的解析式：y=

1

2

（x+4）（x-1）=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）∵當△BGH的面積是△CGH面積的3倍，
∴BG：CG=3：1，即BG：BC=3：4；
∵GH∥AC，∴

BH

AB

=

BG

BC

=

3

4

；
易知：BA=OB+OA=5，則 BH=

3

4

AB=

15

4

，
∴OH=BH-OB=

15

4

-1=

11

4

，即 H（-

11

4

，0）．

（3）設直線AC：y=kx+b，代入A（-4，0）、C（0，-2），得：

-4k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 1 2 b=-2

故直線AC：y=-

1

2

x-2；
設M（x，

1

2

x²+

3

2

x-2），則N（x，-

1

2

x-2），則：
MN=（-

1

2

x-2）-（

1

2

x²+

3

2

x-2）=-

1

2

x²-2x=-

1

2

（x+2）²+2
因此當M運動到OA的中垂線上，即M（-2，-3）時，線段MN的長最大．

點評：該題考查了比較常見的二次函數(shù)綜合題，主要涉及了：利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、三角形面積的解法、平行線分線段成比例定理以及二次函數(shù)的應用，后兩題在同類項題中出現(xiàn)的次數(shù)較多，難度適中，應牢固掌握其解法．