Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作MN∥AD，EF∥CD，分別交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F，設(shè)a=PM•PE，b=PN•PF．
（1）請(qǐng)判斷a與b的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AD∥BC，可求出△PDE∽△PBF，因此PD：PB=PE：PF．同理可在相似三角形△PDN和△PBM中，求得PD：PB=PN：PM，兩個(gè)比例關(guān)系式的等值替換，即可求出PM•PE=PN•FP，即a=b；
（2）根據(jù)PM∥AD，可求出△BPM∽△ABD，可得出△PMB和△ABD的面積比；同理可求出△PED和△ABD的面積比．由于四邊形AMPE的面積為△ABD、△PMB、△PED的面積差，由此可求出平行四邊形PEAM與△ABD的面積比．
解答：解：（1）a=b
理由：∵BC∥AD
∴△PDE∽△PBF
∴
∵AB∥CD
∴△PDN∽△PBM
∴
∴
∴PM•PE=PN•PF
∴a=b；

（2）∵=2
∴=，
∵M(jìn)N∥AD，EF∥CD，
∴四邊形BFPM是平行四邊形
∴△PBF≌△BPM
∴==，
∴S_△BPM=4S_△PDE
∵=2
∴=
∴=，
∴S_△BPM=S_△BDA，
∵S_△PDE=S_△BPM=S_△BDA，
∴S_{四邊形PEAM}=S_△BDA
∴=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度較大．