Question

設x₁，x₂，x₃，…，x₄₀是正整數，且x₁+x₂+x₃+…+x₄₀=58，則x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²的最大值和最小值為

1. A.
   400，94
2. B.
   200，94
3. C.
   400，47
4. D.
   200，47

Answer 1

A
分析：把58分寫成40個正整數和的寫法只有有限種，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²的最大值和最小值是存在的．
①設x₁≤x₂≤…≤x₄₀，由（x₁-1）²+（x₂+1）²＞x₁²+x₂²，所以，當x₁＞1時，把x₁調到1，這時，x₁²+x₂²+…+x₄₀²將增大，所以可以求出最大值．②若存在兩數x_i，x_j，使得x_j-x_i≥2（1≤i＜j≤40），根據（x_i+1）²+（x_j-1）²=x_i²+x_j²-2（x_i-x_j-1）＜x₁²+x₂²，所以在x₁，x₂，x₃，…，x₄₀中，若兩數差大于1，則較小數加1，較大數減1，這時，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²將減小，可以求出最小值．
解答：把58分寫成40個正整數和的寫法只有有限種，x₁²+x₂²+…+x₄₀²的最大值和最小值是存在的．
不妨設x₁≤x₂≤…≤x₄₀，若x₁＞1，則x₁+x₂=（x₁-1）+（x₂+1），且
（x₁-1）²+（x₂+1）²=x₁²+x₂²+2（x₂-x₁）+2＞x₁²+x₂²
所以，當x₁＞1時，把x₁調到1，這時，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²將增大；
同樣，可把x₂，x₃…x₃₉逐步調至1，這時，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²將增大，于是，當x₁，x₂…x₃₉均為1，x₄₀=19時，x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²將取最大值，即
A=1×39+19²=400．
若存在兩數x_i，x_j，使得x_j-x_i≥2（1≤i＜j≤40），則
（x_i+1）²+（x_j-1）²=x_i²+x_j²-2（x_i-x_j-1）＜x₁²+x₂²
所以在x₁，x₂，x₃，…，x₄₀中，若兩數差大于1，則較小數加1，較大數減1，這時，
x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²將減小
所以當有22個是1，18個是2時x₁²+x₂²+x₃²+…+x₄₀²將取最小值，即
B=1×22+2²×18=94
故最大值為400，最小值為94．
故A項正確，故選A．
點評：①本題綜合了數的拆分以及不等式的性質，屬于有理數的綜合運算，總的來說比較難，要求平時對基本的知識非常熟練地掌握．
②本題作為選擇題有其特殊的解法，一般情況下如果做不出來或者沒有思路可以采用賦值法，然后進行排除找到答案．