Question

如圖1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點(diǎn)B、C、G在同一條直線(xiàn)上，M是線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線(xiàn)交EF于點(diǎn)N，連接FM，易證：DM=FM，DM⊥FM（無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程）

（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線(xiàn)上，DM的延長(zhǎng)線(xiàn)交EG于點(diǎn)N，其余條件不變，試探究線(xiàn)段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予證明；

（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線(xiàn)上，DM的延長(zhǎng)線(xiàn)交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，其余條件不變，探究線(xiàn)段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出猜想．

　

Answer 1

 解：（1）如圖2，DM=FM，DM⊥FM，

證明：連接DF，NF，

∵四邊形ABCD和CGEF是正方形，

∴AD∥BC，BC∥GE，

∴AD∥GE，

∴∠DAM=∠NEM，

∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，

∴AM=EM，

在△MAD與△MEN中，

，

∴△MAD≌△MEN，

∴DM=MN，AD=EN，

∵AD=CD，

∴CD=NE，

∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，

在△DCF與△NEF中，

，

∴△MAD≌△MEN，

∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，

∵∠EFN+∠NFC=90°，

∴∠DFC+∠CFN=90°，

∴∠DFN=90°，

∴DM⊥FM，DM=FM

（2）猜想：DM⊥FM，DM=FM，

證明如下：如圖3，連接DF，NF，

連接DF，NF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∵點(diǎn)E、B、C在同一條直線(xiàn)上，

∴AD∥CN，

∴∠ADN=∠MNE，

在△MAD與△MEN中，

，

∴△MAD≌△MEN，

∴DM=MN，AD=EN，

∵AD=CD，

∴CD=NE，

∵CF=EF，

∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°，

∴∠DCF=∠NEF，

在△DCF與△NEF中，

，

∴△MAD≌△MEN，

∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，

∵∠CFD+∠EFD=90°，

∴∠NFE+∠EFD=90°，

∴∠DFN=90°，

∴DM⊥FM，DM=FM．