如圖,在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG(BE<AB),連接EG并延長交DC于M,過M(1,-1)作MN⊥AB,垂足為N,MN交BD于P.
(1)找出圖中一對全等三角形,并加以證明(正方形的對角線分正方形得到的兩個三角形除外);
(2)設正方形ABCD的邊長為1,按照題設方法作出的四邊形BGMP,若是菱形,求BE的長.

【答案】分析:根據(jù)題意先求得∠CGM=45°,再得到DM=BG,從而得出△DMP≌△EBG,再利用勾股定理和菱形的性質(zhì)解答.
解答:解:(1)△DMP≌△EBG.
證明:∵四邊形ABCD和四邊形BEFG均為正方形,
∴DC=BC,∠C=∠GBE=90°,
∠CDB=∠BEG=∠BGE=45°,
∴∠CGM=45°,
∴∠CMG=∠CGM,
∴CM=CG,
∴DM=BG,
∵MN⊥AB,
∴∠DMP=90°.
∴∠DMP=∠GBE=90°.
∴△DMP≌△EBG.

(2)解法一:設正方形BEFG的邊長為x,
∵BGMP是菱形,
則DM=MP=BG=MG=x,MC=CG=1-x,
在Rt△MCG中,有(1-x)2+(1-x)2=x2
即x2-4x+2=0
解這個方程得x1=2-,x2=2+
∵BE<AB,
∴x2=2+舍去.
∴當正方形BEFG的邊長為2-時,四邊形BGMP是菱形.

解法二:設正方形BEFG的邊長為x,
∵BGMP是菱形,
∴DM=MP=MG=BG=x.
∴MC=CG=1-x.
在Rt△MCG中,
∵°CMG=45°,
∴sin∠CMG=


∴當正方形BEFG的邊長為2-時,四邊形BGMP是菱形.
點評:此題較復雜,但充分利用題目所給的條件,根據(jù)勾股定理或三角函數(shù)列出方程即可解答.解答此題,不要局限于一種方法,可以多試幾種方法,以提高解題的“含金量”.
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如圖,在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG(BE<AB),連接EG并延長交DC于M,過M(1,-1)作MN⊥AB,垂足為N,MN交BD于P.
(1)找出圖中一對全等三角形,并加以證明(正方形的對角線分正方形得到的兩個三角形除外);
(2)設正方形ABCD的邊長為1,按照題設方法作出的四邊形BGMP,若是菱形,求精英家教網(wǎng)BE的長.

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如圖,在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG(BE<AB),連接EG并延長交DC于點精英家教網(wǎng)M,作MN⊥AB,垂足為N,MN交BD于點P.設正方形ABCD的邊長為1.
(1)證明:△CMG≌△NBP;
(2)設BE=x,四邊形MGBN的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;
(3)如果按照題設方法作出的四邊形BGMP是菱形,求BE的長.

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如圖,在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG(BE<AB),連接EG并延長交DC于M,過M(1,-1)作MN⊥AB,垂足為N,MN交BD于P.
(1)找出圖中一對全等三角形,并加以證明(正方形的對角線分正方形得到的兩個三角形除外);
(2)設正方形ABCD的邊長為1,按照題設方法作出的四邊形BGMP,若是菱形,求BE的長.

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