Question

如圖，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，點(diǎn)O為斜邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)D，與AB相交于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，連接OD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAD=22.5°，⊙O的半徑為4，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

（1）證明：∵⊙O與BC相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°（1分）
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=∠ACB（2分）
∴OD∥AC（3分）
∴∠1=∠3（4分）
∵OD=OA，
∴∠1=∠2（5分）
∴∠2=∠3，即AD平分∠BAC（6分）

（2）解：∵∠BAD=22.5°，
∴∠EOD=45°（7分）
∴（8分）
分析：（1）利用切線BC的性質(zhì)求得∠ODB=90°，再根據(jù)已知條件∠ACB=90°，來(lái)證明OD∥AC；然后由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等知∠1=∠3；最后由等腰三角形AOD的兩個(gè)底角∠1=∠2及等量代換證明AD平分∠BAC；
（2）由圓周角定理求得∠EOD=2∠BAD=45°；然后利用扇形面積公式=來(lái)求陰影部分的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理及扇形的面積公式．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．