
解:(1)據(jù)題意可得∠1=

,OB=BD=

,DE=OE,
∵Rt△AOB中,∠BAO=30°,
∴∠ABO=60°,OA=3,AB=2

,
∴∠1=30°,A(3,0),B(0,

).
Rt△EOB中,∵

∴

∴OE=1,∴E點坐標(biāo)為(1,0);
過點D作DG⊥OA于G,易知D是AB的中點,且A(3,0),B(0,

),
則OG=

OA=1.5,DG=

OB=

;
故D(1.5,

).
(2)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過x軸上的O、A兩點,設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-x
1)(x-x
2);
據(jù)(1)得A點坐標(biāo)為(3,0),
∴x
1=0,x
2=3,
把D點坐標(biāo)(1.5,

)代入y=a(x-0)(x-3)
得

,
∴二次函數(shù)的解析式為

.
(3)設(shè)直線BE的解析式為y=k
1x+b
1,把(0,

)和(1,0)分別代入y=k
1x+b
1得:

,
直線BE的解析式為

,
∵把x=1.5代入

得:

,
F點坐標(biāo)為(1.5,-

),M點坐標(biāo)為(

,-

),N點坐標(biāo)為(

,-

),
M點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為M'(

,

),
設(shè)直線M'N的解析式為y=k
2x+b
2,把(

,

)和(

,-

)分別代入y=k
2x+b
2
得:

,

,
∴直線M'N的解析式為

,
把y=0代入

得

,
∴x軸上存在點P,使△PMN的周長最小,P點坐標(biāo)為(

,0),

,

,
∴△PMN周長=

.
分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)知:∠EBA=∠BAO=30°,由此可得∠OBE=30°,在Rt△OBE中,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得OE的長,從而得到點E的坐標(biāo).同理可在Rt△OAB中,得到OA、OB的長,也就得到了A、B的坐標(biāo),由于D是AB的中點,根據(jù)A、B的坐標(biāo),即可得到點D的坐標(biāo).
(2)已知了拋物線圖象上的三點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解即可.
(3)先求出直線BE的解析式,聯(lián)立拋物線的對稱軸放出,即可得到點F的坐標(biāo),進而可求出M、N的坐標(biāo);取點M關(guān)于x軸的對稱點M′,M′的坐標(biāo)易求得,即可得到直線M′N的解析式,那么直線M′N和x軸的交點即為所求的P點,求出P點后,即可得到PM、PN的值,而MN的長為OA的一半,即可得到△PMN的最小周長.
點評:此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、三角形中位線定理、平面展開-最短路徑問題等知識,難度較大.