Question

已知拋物線與軸的一個交點為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點C．

⑴直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點B的坐標；

⑵當點C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式；

⑶坐標平面內(nèi)是否存在點，使得以點M和⑵中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

  

Answer 1

解：⑴對稱軸是直線：，點B的坐標是(3,0)． ……2分

說明：每寫對1個給1分，“直線”兩字沒寫不扣分．

⑵如圖，連接PC，∵點A、B的坐標分別是A(-1,0)、B (3,0)，

∴AB＝4．∴

在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，

∴

∴b＝    ………………………………3分

當時，

∴　 ………………………………4分

∴   ………………5分

⑶存在．……………………………6分

理由：如圖，連接AC、BC．設(shè)點M的坐標為．

①當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM＝AB．

由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．

∴x＝±4．∴點M的坐標為．…9分

說明：少求一個點的坐標扣1分．

②當以AB為對角線時，點M在x軸下方．

過M作MN⊥AB于N，則∠MNB＝∠AOC＝90°．

∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC＝MB，且AC∥MB．

∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．

∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．

∴點M的坐標為．            ……………………………12分

說明：求點M的坐標時，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式，

然后求交點M的坐標的方法均可，請參照給分．

綜上所述，坐標平面內(nèi)存在點，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形．其坐標為．

說明：①綜上所述不寫不扣分；②如果開頭“存在”二字沒寫，但最后解答全部正確，不扣分。