Question

如圖，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足為E，CF⊥AB，垂足為F，點D是BC的中點，BE，CF交于點M．
（1）如果AB=AC，求證：△DEF是等邊三角形；
（2）如果AB≠AC，試猜想△DEF是不是等邊三角形？如果△DEF是等邊三角形，請加以證明；如果△DEF不是等邊三角形，請說明理由；
（3）如果CM=4，F(xiàn)M=5，求BE的長度．

Answer 1

分析：（1）先判定△ABC是等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EF=ED=DF，從而可得△DEF是等邊三角形；
（2）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABE=∠ACF=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCF+∠CBE=60°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BDF+∠CDE=120°，從而得到∠EDF=60°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=DF，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可證明；
（3）根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BM=2FM，ME=

1

2

CM，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可求解．

解答：（1）證明：∵∠A=60°，AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∵BE⊥AC，垂足為E，CF⊥AB，垂足為F，
∴E、F分別是AC、AB邊的中點，
又∵點D是BC的中點，
EF=

1

2

BC，DE=

1

2

AB，DF=

1

2

AC，
∴EF=ED=DF，
∴△DEF是等邊三角形；

（2）解：△DEF是等邊三角形．
理由如下：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，
在△ABC中，∠BCF+∠CBE=180°-60°-30°×2=60°，
∵點D是BC的中點，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DE=DF=BD=CD，
∴∠BDF=2∠BCF，∠CDE=2∠CBE，
∴∠BDF+∠CDE=2（∠BCF+∠CBE）=2×60°=120°，
∴∠EDF=60°，
∴△DEF是等邊三角形；

（3）解：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，
∴BM=2FM=2×5=10，ME=

1

2

CM=

1

2

×4=2，
∴BE=BM+ME=10+2=12．

點評：本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．