Question

如圖，Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連接CC′交斜邊于點(diǎn)E，CC′的延長線交BB′于點(diǎn)F．
（1）證明：∠ACE=∠FBE；
（2）設(shè)∠ABC=α，∠CAC′=β，若△ACE≌△FBE，試探索α、β滿足什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式整理即可得證；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=CE，根據(jù)等邊對等角可得∠ABC=∠BCE，再根據(jù)∠ACB=∠BCE+∠ACC′=90°代入整理數(shù)據(jù)整理即可得解．

解答：（1）證明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ACE=

1

2

（180°-∠CAC′），∠FBE=

1

2

（180°-∠BAB′），
∴∠ACE=∠FBE；

（2）解：∵△ACE≌△FBE，
∴BE=CE，
∴∠ABC=∠BCE=α，
∵∠CAC′=β，AC=AC′，
∴∠ACE=

1

2

（180°-∠CAC′）=

1

2

（180°-β），
∵∠ACB=∠BCE+∠ACC′=90°，
∴α+

1

2

（180°-β）=90°，
整理得，β=2α．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．