Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（0，4），點(diǎn)B在直線y=kx+6（k＞0）上，若以O(shè)、A、B為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，k的值為（ ）
A.
B.
C.3
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：以點(diǎn)A，O，B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，
當(dāng)直角頂點(diǎn)是A和O時(shí)，直線y=kx+6上各存在一個(gè)點(diǎn)B滿足條件，
要以O(shè)、A、B為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，直角頂點(diǎn)是B的△AOB只需存在一個(gè)，
所以，以O(shè)A為直徑的圓C與直線y=kx+6相切，
如圖，
設(shè)切點(diǎn)為B，直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B'、D，連接CB，
在y=kx+6中令y=0，得x=6，
∴OD=6，且OC= OA=2，
∴CD=4，
在Rt△CDB中，BC=2，CD=4，
∴sin∠BDC= = ，
∴∠ODB'=30°，
在Rt△OB'D中，∠ODB'=30°，OD=6，
∴tan∠ODB'= ，
∴tan30°= ，
∴OB'=6tan30°=2 ，
∵k＞0，
∴B'（﹣2 ，0），
將點(diǎn)B'（﹣2 ，0）代入y=kx+6中，得，﹣2 k+6=0，
∴k= ，
故選A．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與圓的三種位置關(guān)系和銳角三角函數(shù)的定義，需要了解直線與圓有三種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)才能得出正確答案．