Question

（2012•太原二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分線交BC于點D，點E與點D關于直線AB對稱，連接AE、BE．

（1）求BD：DC；
（2）將圖1中的△ABE繞點B逆時針方向旋轉到△A₁BE₁．連接A₁C、AE₁，如圖2所示，求線段AE₁與A₁C的數(shù)量關系及它們所夾銳角的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質和垂直平分線的性質可證明BD=AD，再根據(jù)含30°角的直角三角形性質可證明：AD：DC=1；2，所以BD：DC=1：2；
（2）如圖2，過點A作AF⊥BC交于點F，則BC=2BF，由（1）可知△ADB中，AD=BD，∠ADB=120°，設A₁C分別交AE₁，AB于點M和N，證明△A₁E₁B∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質即可證明線段AE₁與A₁C的數(shù)量關系及它們所夾銳角的度數(shù)．

解答：解：（1）如圖1，連接AD，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵AB的垂直平分線交BC于點D，
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABC=30°，
∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=90°，
在Rt△ACD中，∠C=30°，
∴AD：DC=1；2，
∴BD：DC=1：2；

（2）如圖2，過點A作AF⊥BC交于點F，則BC=2BF，
由（1）可知△ADB中，AD=BD，∠ADB=120°，
∵點E與點D關于直線AB對稱，
∴AE=BE，∠BEA=120°，
∵△ABE繞點B逆時針方向旋轉到△A₁BE₁．
∴A₁E₁=E₁B，∠A₁E₁B=120°，
∴∠2=30°，
∵∠1=30°，∠BAC=120°，
∴△A₁E₁B∽△ABC，
∴

E1B

AB

=

A1B

BC

，∠E₁AB=∠A₁CB，
∵∠1=30°，cos∠1=

BE

AB

，
∴

BE

AB

=

3

2

，
∴BC=

3

AB，
∴

AE1

A1C

=

AB

BC

=

3

3

，
設A₁C分別交AE₁，AB于點M和N，
∵∠ANM=∠BNC，且∠NAM=∠NCB，
∴∠AMN=∠1=30°，
∴AE₁與A₁C的夾角的度數(shù)為30°，
∴線段AE₁與A₁C的數(shù)量關系及它們所夾銳角的度數(shù)分別是A₁C=

3

AE₁和30°．

點評：本題考查了等腰三角形的性質、直角三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、垂直平分線的性質、圖形旋轉的性質以及特殊角的銳角三角函數(shù)值，題目的綜合性很強，對學生的綜合解題能力要求很高．