Question

（2012•閘北區(qū)二模）已知：如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=-

2

x

的圖象交于點(diǎn)A（-1，m），與x軸正半軸交于點(diǎn)B，AP⊥x軸于點(diǎn)P，且S_△ABP=2．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)點(diǎn)，如果∠ACO=∠BAO，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先把A（-1，m）代入y=-

2

x

，即可求得m的值，又由S_△ABP=2，則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得此一次函數(shù)的解析式；
（2）由（1）可求得OA=

5

，AB=2

2

，分別從當(dāng)點(diǎn)C在x軸的正半軸上與當(dāng)點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上時(shí)去分析，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）把A（-1，m）代入y=-

2

x

，
得m=-

2

-1

=2，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（-1，2），
又∵S_△ABP=

1

2

PB•AP，
∴2=

1

2

PB×2，
∴PB=2，
∴點(diǎn)B（1，0）；
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入得：

0=k+b 2=-k+b

，
解得：

k=-1 b=1

，
故直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+1；

（2）∵點(diǎn)A（-1，2）、B（1，0），
∴OA=

5

，AB=2

2

．如圖：
當(dāng)點(diǎn)C在x軸的正半軸上時(shí)，
∵∠ACO=∠BAO，∠AOC=∠BOA，
∴△OAC∽△OBA，
∴

OA

OC

=

OB

OA

，
∴

5

OC

=

1

5

，
∴OC=5，
即點(diǎn)C₁（5，0）；
當(dāng)點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，
∵∠ACO=∠BAO，∠ABC=∠OBA，
∴△ABO∽△CBA，
∴

AB

CB

=

OB

AB

，
∴

8

CB

=

1

8

，
∴CB=8，
即點(diǎn)C₂（-7，0）．
綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（5，0），（-7，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及三角形面積問(wèn)題．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．