Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E、F分別是AB和AD延長線上的點，BE=DF．
（1）求證：△CEF是等腰直角三角形；
（2）若S_△CEF=

17

2

，①當AF=5DF時，求正方形ABCD的邊長；②通過探究，直接寫出當AB=kDF（k＞1）時，正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質可得BC=CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，再求出∠CDF=90°，從而得到∠B=∠CDF，再利用“邊角邊”證明△BEC和△DFC全等，根據全等三角形對應邊相等可得EC=FC，全等三角形對應角相等可得∠BCE=∠CF，然后求出∠ECF=90°，即可得證；
（2）①設DF=x，表示出AF=5x，然后求出BC=4x，根據勾股定理求出CE²，再根據等腰直角三角形的面積等于直角邊平方的一半列式求出x，然后求出正方形的邊長即可；
②根據①的思路表示出CE²，再根據等腰直角三角形的面積等于直角邊平方的一半列出方程表示出DF²，再求出AB²，即可得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠CDF=180°-∠ADC=90°，
∴∠B=∠CDF，
在△BEC和△DFC中，

BC=DC ∠B=∠CDF BE=DF

，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴EC=FC，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠DCF+DCE=90°，
即∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形；

（2）解：①∵AF=5DF，
∴可設DF=x，（x＞0），則AF=5x，BC=AD=4x，BE=x，
由勾股定理得：CE²=x²+（4x）²=17x²，
∵S_△CEF=

17

2

，且△CEF是等腰直角三角形，
∴S_△CEF=

1

2

×CE²=

1

2

×17x²=

17

2

，
解得：x=1，
∴AD=4，
即正方形ABCD的邊長為4；
②當AB=kDF（k＞1）時，CE²=DF²+CD²=（k²+1）DF²，
∴S_△CEF=

1

2

×CE²=

1

2

（k²+1）DF²=

17

2

，
∴DF²=

17

k2+1

，
∴AB²=k²DF²=

17k2

k2+1

，
即正方形的面積為

17k2

k2+1

．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，以及勾股定理的應用，（1）求出三角形全等是解題的關鍵，（2）根據三角形的面積列出方程是解題的關鍵．