Question

【題目】在中，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，以為一邊且在的右側(cè)作正方形.

（1）如果，如圖①，試判斷線段與之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如果，如圖②，（1）中結(jié)論是否成立，說(shuō)明理由.

（3）如果，如圖③，且正方形的邊與線段交于點(diǎn)，設(shè)，，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng).（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）；證明見解析； （2）成立；理由見解析；（3）.

【解析】

（1）先證明，得到，再根據(jù)角度轉(zhuǎn)換得到∠BCF=90°即可；

（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得，再證明，得，即可證明；

（3）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可求出，則，根據(jù)得出相似比，即可表示出CP.

（1）；

證明：∵，，

∴，

由正方形得，

∵，

∴，

在與中，

，

∴，

∴，

∴，

即；

（2）時(shí)，的結(jié)論成立；

證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

即；

（3）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵，

∴△AQC為等腰直角三角形，

∵，

∴，

∵DC=x，

∴，

∵四邊形ADEF為正方形，

∴∠ADE=90°，

∴∠PDC+∠ADQ=90°，

∵∠ADQ+∠QAD=90°，

∴∠PDC=∠QAD，

∴，

∴，

∴，

.