Question

已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖），一次函數(shù)y=

3

4

x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)y=

3

2

x的圖象上，且MO=MA．二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、M．
（1）求線段AM的長(zhǎng)；
（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D在一次函數(shù)y=

3

4

x+3的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先求出根據(jù)OA垂直平分線上的解析式，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求出線段AM的長(zhǎng)；
（2）二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、M．待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（3）可設(shè)D（n，

3

4

n+3），根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C（n，n^2_

5

2

n+3）且點(diǎn)C在二次函數(shù)y=x^2_

5

2

x+3上，得到方程求解即可．

解答：解：（1）在一次函數(shù)y=

3

4

x+3中，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3．
∴A（0，3）．
∵M(jìn)O=MA，
∴M為OA垂直平分線上的點(diǎn)，
可求OA垂直平分線上的解析式為y=

3

2

x，
又∵點(diǎn)M在正比例函數(shù)y=

3

2

x，
∴M（1，

3

2

），
又∵A（0，3）．
∴AM=

13

2

；

（2）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、M．可得

1+b+c= 3 2 0+0+c=3

，
解得

b=- 5 2 c=3

．
∴y=x²-

5

2

x+3；

（3）∵點(diǎn)D在一次函數(shù)y=

3

4

x+3的圖象上，
則可設(shè)D（n，

3

4

n+3），
設(shè)B（0，m），（m＜3），C（n，n²-

5

2

n+3）
∵四邊形ABDC是菱形，
∴|AB|=3-m，|DC|=|y_D-y_C|=|

3

4

n+3-（n^2_

5

2

n+3）|=|

13

4

n-n²|，
|AD|=

(n-0) 2+( 3 4 n+3-3) 2

=|

5

4

n|，
∵|AB|=|DC|，
∴3-m=

13

4

n-n²，①，
∵|AB|=|DA|，
∴3-m=

5

4

n，②
解①②得，n₁=0（舍去），n₂=2，
將n=2，代入C（n，n^2_

5

2

n+3），
∴C（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有拋物線解析式的確定，兩點(diǎn)的距離公式，菱形的性質(zhì)，解二元一次方程，綜合性較強(qiáng)，難度較大．