Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,)．

1.求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

2.設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，在直線CD的上方，y軸及y軸的右側(cè)的平面內(nèi)找一點(diǎn)G，使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似，請直接寫出符合要求的點(diǎn)G的坐標(biāo)；

3.如圖，拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)M，過點(diǎn)M作一條直線交∠ADB于T,N兩點(diǎn)，①當(dāng)∠DNT=90°時，直接寫出 的值；

②當(dāng)直線TN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，

試說明: △DNT的面積S_△DNT=;

并猜想 :的值是否是定值?說明理由.

 

Answer 1

 

1.y=  ，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(1, )

2.

3.是定值

解析:解：拋物線與X軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與Y軸交于點(diǎn)C(0，），

故可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4)  （設(shè)一般式也可）

則=a(0+2)(0-4)          ∴a=

拋物線的解析式為：y= (x+2)(x-4)，即y=

化為頂點(diǎn)式：y=       

 ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(1, )                                        2分

(2)             6分

（3）①                                                7分

② i．是定值

理由是:作NH⊥DT于點(diǎn)H，

又∵拋物線是軸對稱圖形,DM是對稱軸，

∴DA=DB，

∵tan∠DAB=

∴∠DAB=60°，

∴△DAB是等邊三角形，

∴∠ADB=60°，

∴S_△DNT=DT·NH= DT·DN·sin60°= DT·DN            9分

ii.方法1：（面積法）

作NH⊥DT于H， MM₁⊥DT于M₁，MM₂⊥DN于M₂，

∴NH= DN·sin60°= DN,

又∵△DAB是等邊三角形，且DM⊥AB于M，

∴∠TDM=∠NDM=30°,

∴MM₁ = MM₂= DM·sin30°= DM,

∵S_△DNT= DT·DN

∵S_△DTM+ S_△DNM = DT·MM₁+ DN·MM₂

= DT·DMsin30°+ DN·DMsin30

=

∵S_△DNT=S_△DTM+ S_△DNM

∴ DT·DN=

∴DT·DN=3

∴                               12分

方法2：（相似三角形的知識）

作NN₁⊥DM于N₁，TT₁⊥DM于T₁，

又∵△DAB是等邊三角形，且DM⊥AB于M，

∴∠TDM=∠NDM=30°,

 ∵∠DN₁N=∠TT₁D=90°，

∴△DN₁N∽△D T₁T

∴

又∵∠TMT₁=∠NMN₁，

             ∵∠NN₁M=∠TT₁D=90°，

∴△NN₁M∽△TT₁M

∴

∴==

∴

∴                                    12分