Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn) B（t，b）在直線y=b上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D、E、F分別為OB、OA、AB的中點(diǎn)，其中b是大于零的常數(shù)。設(shè)直線y=b與y軸交于點(diǎn)C，問：四邊形DEFB能不能是矩形？若能，求出t的值；若不能，說明理由。

Answer 1

解：以E為圓心，OA長(zhǎng)為直徑的圓記為⊙E，

∵D、E分別是OB、OA的中點(diǎn)，∴DE∥AB。

同理，EF∥OB。

∴四邊形DEFB是平行四邊形。

①當(dāng)直線y=b與⊙E相切或相交時(shí)，

若點(diǎn)B是切點(diǎn)或交點(diǎn)，則由圓周角定理∠ABO=90°，

∴四邊形DEFB是矩形。

此時(shí)0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，∴，即OB²=OA•BC=8t。

在Rt△OBC中，OB²=BC²＋OC²=t²＋b²。

∴t²＋b²=8t，即t²－8t＋b²=0，解得。

②當(dāng)直線y=b與⊙E相離即b＞4時(shí)，∠ABO＜90°，∴四邊形DEFB不是矩形。

綜上所述：當(dāng)0＜b≤4時(shí)，四邊形DEFB是矩形，這時(shí)，，當(dāng)b＞4時(shí)，四邊形DEFB不是矩形。

【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，解一元二次方程，圓周角定理，三角形外角定理。