Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形嗎？為什么？

（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點(diǎn)P的位置，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（2）△BCD為直角三角形．（3）符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O（0，0），，P2（9，0）．

【解析】

試題分析：（1）已知了拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式，進(jìn)而可用配方法或公式法求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）根據(jù)B、C、D的坐標(biāo)，可求得△BCD三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可．

（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)；首先連接AC，根據(jù)A、C的坐標(biāo)及（2）題所得△BDC三邊的比例關(guān)系，即可判斷出點(diǎn)O符合P點(diǎn)的要求，因此以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)（或射影定理）求得OP的長，也就得到了點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），可知c=﹣3，

即拋物線的解析式為y=ax2+bx﹣3，

把A（﹣1，0）、B（3，0）代入，

得

解得a=1，b=﹣2．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

（2）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，

理由如下：

過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC2=18，

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，

∴CD2=2，

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，

∴BD2=20，

∴BC2+CD2=BD2，故△BCD為直角三角形．

（3）連接AC，則容易得出△COA∽△CAP，又△PCA∽△BCD，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合條件的點(diǎn)為O（0，0）．

過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，

求得符合條件的點(diǎn)為．

過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，

求得符合條件的點(diǎn)為P2（9，0）．

∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O（0，0），，P2（9，0）．