Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)x=0和x=4時(shí)，y的值相等，直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M。
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為線段OM上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，若點(diǎn)P在線段OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合，但可以與點(diǎn)M重合），設(shè)OQ的長(zhǎng)為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請(qǐng)求出S的最大值，并指出點(diǎn)Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒有最大值，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；
（4）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，是否存在t的某個(gè)值，能滿足PO=OC？如果存在，請(qǐng)求出t的值。

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)x=0和x=4時(shí)，y的值相等， ∴c=16a+4b+c， ∴b=-4a， ∴， 將x=3代入y=4x-16，得y=-4， 將x=2代入y=4x-16，得y=-8， ∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2-8， 將點(diǎn)（3，-4）代入，得-4=a（x-2）2-8，解得a=4， ∴拋物線y=4（x-2）2-8，即y=4x2-16x+8； （2）設(shè)直線OM的解析式為y=kx，將點(diǎn)M（2，-8）代入，得k=-4， ∴y=-4x， 則點(diǎn)P（t-4t），PQ=4t，而PC=8，OQ=t， S=S△COQ+S△OPQ=×8×t+×t×4t=2t2+4t， t的取值范圍為：0＜t≤2； （3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，四邊形PQCO的面積S有最大值， 從圖象可看出，隨著點(diǎn)P由O→M運(yùn)動(dòng)，△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大，即S不斷變大，顯當(dāng)然點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，S最值， 此時(shí)t=2時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB的中點(diǎn)上， 因而S=×2×8+×2×8=16， 當(dāng)t=2時(shí)，OC=MQ=8，OC∥MQ， ∴四邊形PQCO是平行四邊形；  （4）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，存在t=，能滿足PO=OC， 設(shè)點(diǎn)P（t，-4t），PQ=4T，OQ=t， 由勾股定理，得OP2=（4t）2+t2=17t2， ∵PO=OC， ∴17t2=82，，（不合題意） ∴當(dāng)時(shí)，PO=OC。