Question

【題目】以的各邊，在邊的同側(cè)分別作三個(gè)正方形．他們分別是正方形，，，試探究：

如圖中四邊形是什么四邊形？并說(shuō)明理由．

當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形是矩形？

當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？

Answer 1

【答案】四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；當(dāng)時(shí)，平行四邊形是矩形；當(dāng)且時(shí)，四邊形是正方形．

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的對(duì)應(yīng)邊DE=AG．然后利用正方形對(duì)角線的性質(zhì)、周角的定義推知∠EDA+∠DAG=180°，易證ED∥GA；最后由“一組對(duì)邊平行且相等”的判定定理證得結(jié)論；
（2）根據(jù)“矩形的內(nèi)角都是直角”易證∠DAG=90°．然后由周角的定義求得∠BAC=135°；
（3）由“正方形的內(nèi)角都是直角，四條邊都相等”易證∠DAG=90°，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性質(zhì)證得，AC=AB．

圖中四邊形是平行四邊形．理由如下：

∵四邊形、四邊形、四邊形都是正方形，

∴，，，．

∴（同為的余角）．

在和中，

，

∴，

∴，．

∵是正方形的對(duì)角線，

∴．

∵，

∴

∴，

∴四邊形是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等）．

當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，．

則，

即當(dāng)時(shí)，平行四邊形是矩形；

當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，，且．

由知，當(dāng)時(shí)，．

∵四邊形是正方形，

∴．

又∵四邊形是正方形，

∴，

∴．

∴當(dāng)且時(shí)，四邊形是正方形．