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如圖，已知正方形DEFG內接于Rt△ABC，點E、F在

斜邊BC上，EH⊥AB于點H。　　 

求證：（1）△ADG≌△HED；

（2）EF2＝BE·FC。

 

答案：
解析：

證明：（1）∵四邊形DEFG為正方形，

∴ DG＝DE，∠EDG＝90°。

∴ ∠ADG＋∠HDE＝90°。

∵ EH⊥AB于點H，

∴ ∠HED＋∠HDE＝90°。

∴ ∠ADG＝∠HED。

又∵ ∠A＝∠DHE＝90°，

∴ △ADG≌△HED。

（2）∵四邊形EFGH是正方形，

∴DE＝GF＝EF，∠GFC＝∠BED＝90°。

又∠B＋∠HDE＝90°，∠B＋∠C＝90°，

∴ ∠C＝∠HDE。

∴ △GFC∽△BED。

∴ FC∶DE＝GF∶BE。

又DE＝GF＝EF，

  ∴ FC∶EF＝EF∶BE。

∴EF2＝BE·FC。

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點，DE=1．以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，得△ABE′，連接EE′，則EE'的長等于
 
．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2012•惠山區(qū)一模）閱讀與證明：
如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點，且∠EAF=45°，

求證：BF+DE=EF．
分析：證明一條線段等于另兩條線段的和，常用“截長法”或“補短法”，將線段BF、DE放在同一直線上，構造出一條與BF+DE相等的線段．如圖1延長ED至點F′，使DF′=BF，連接A F′，易證△ABF≌△ADF′，進一步證明△AEF≌△AEF′，即可得結論．
（1）請你將下面的證明過程補充完整．
證明：延長ED至F′，使DF′=BF，
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△ABF≌△ADF’（SAS）
應用與拓展：如圖建立平面直角坐標系，使頂點A與坐標原點O重合，邊OB、OD分別在x軸、y軸的正半軸上．
（2）設正方形邊長OB為30，當E為CD中點時，試問F為BC的幾等分點？并求此時F點的坐標；
（3）設正方形邊長OB為30，當EF最短時，直接寫出直線EF的解析式：
y=-x+30
2
y=-x+30
2
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖①，已知正方形AOBC的邊長為3，A、B兩點分別在y軸和x軸的正半軸上，以D（0，1）為旋轉中心，將DB逆時針旋轉90°，得到線段DE，拋物線以點E為頂點，且經過點A．

（1）求拋物線解析式并判斷點B是否在拋物線上；
（2）如圖②，判斷直線AE與正方形AOBC的外接圓的位置關系，并說明理由；
（3）若在拋物線上有點P，在拋物線的對稱軸上有點Q，使得以O、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點P的坐標．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD中，點E在邊AB上，AE=3，BE=2．把線段DE繞點D旋轉，使點E落在直線BC上的點F處，則F、C兩點的距離為
3
3
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，E是DC上一點，△ADE經順時針旋轉后與△ABF重合．
（1）指出旋轉的中心和旋轉的角度；
（2）如果連結EF，那么△AEF是怎樣的三角形？請說明理由．
（3）已知點G在BC上，且∠GAE=45°．
①試說明GE=DE+BG．
②若E是DC的中點，求BG的長．

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