Question

（10分 ）如圖，已知拋物線與軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與軸交于點C（0，3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若為對稱軸上的點，且的面積是4，求點的坐標；

（3）設拋物線的頂點為D，在第一象限的拋物線上是否存在點，使得是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；

（2） ；

（3）存在..

【解析】

試題分析：（1）已知三點的坐標，用待定系數法求得二次函數解析式；

（2）求出拋物線的對稱軸，即可得到點M的橫坐標，根據△MAB的面積求得點M到x軸的距離，得到點M的縱坐標；

（3）分情況討論，若以CD為底邊，則ND＝NC，設N點坐標為(x,y)，根據勾股定理和拋物線解析式得到關于x、y的等式，求得x和y的值；若以CD為一腰，根據拋物線的對稱性求得點N的坐標.

試題解析：【解析】
（1）設拋物線的解析式為，

由題意得：，解得：，

因此拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

（2）由（1）的拋物線的解析式可知：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

因此拋物線的對稱軸為：直線x=1；

設點M到x軸的距離為h，

由題意得AB=4，

所以，解得：h=2，

因為點M在拋物線的對稱軸上，所以點M的坐標為（1，2）或（1，-2）.

（3）存在.

由y=-x2+2x+3得，D點的坐標為（1，4），對稱軸為x＝1.

若以CD為底邊，則ND＝NC，設N點坐標為(x,y)，

根據勾股定理，得，即y＝4－x，

又N點(x，y)在拋物線上，∴ ，

解得，

∴，或，

即點N坐標為或 .

②若以CD為一腰，因為點N在第一象限的拋物線上，由拋物線對稱性知，點N與點C關于直線x＝1對稱，此時點N坐標為（2，3）.

∴符合條件的點N坐標為或 或（2，3）.

考點：1、待定系數法求二次函數解析式；2、二次函數的綜合應用.