Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0），過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．

（1）求證：AE=DF；
（2）當(dāng)四邊形BFDE是矩形時(shí)，求t的值；
（3）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：在Rt△CDF中，∠C=30°

∴DF= CD，

∴DF= 4t=2，

又∵AE=2t，

∴AE=DF．

（2）

解：當(dāng)四邊形BFDE是矩形時(shí)，有BE=DF，

∵Rt△ABC中，∠C=30°

∴AB= AC= ×48=24，

∴BE=AB﹣AE=24﹣2t，

∴24﹣2t=2t，

∴t=6．

（3）

解：∵∠B=90°，DF⊥BC

∴AE∥DF，∵AE=DF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

由（1）知：四邊形AEFD是平行四邊形

則當(dāng)AE=AD時(shí)，四邊形AEFD是菱形

∴2t=48﹣4t，

解得t=8，又∵t≤ = =12，

∴t=8適合題意，

故當(dāng)t=8s時(shí)，四邊形AEFD是菱形．

【解析】（1）由∠DFC=90°，∠C=30°，證出DF=2t=AE；（2）當(dāng)四邊形BEDF是矩形時(shí)，△DEF為直角三角形且∠EDF=90°，求出t的值即可；（3）先證明四邊形AEFD為平行四邊形．得出AB=3，AD=AC﹣DC=48﹣4t，若△DEF為等邊三角形，則四邊形AEFD為菱形，得出AE=AD，2t=48﹣4t，求出t的值即可；