![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/53645a503a881.png)
解:(1)作PE⊥x軸于E,PF⊥y軸于F,如圖,
解方程組
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/561946.png)
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/47191.png)
或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/347468.png)
(x>0,舍去),
∴P點坐標為(4,4),
∴OP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/113141.png)
=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
;
(2)設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b,
把C(-6,0)和P(4,4)代入得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/561947.png)
,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/561948.png)
,
∴直線PC的解析式為y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/335.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
,
∴A點坐標為(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
),
∴AF=OF-OA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2919.png)
,
把△PAF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PGE,
∴∠PEG=∠PFA=90°,EG=FA,∠APG=90°,PA=PG,
而∠PEO=90°,
∴點O、E、G點共線,
∴BG=BE+EG=BE+AF,
∵∠APB=90°,
∴∠BPG=90°,
在△PBA和△PBE中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/561949.png)
,
∴△PBA≌△PBE(SAS),
∴AB=BG=AF+BE,
設(shè)OB=t,則BE=4-t,AB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2919.png)
+4-t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20951.png)
-t,
在Rt△OAB中,∵OA
2+OB
2=AB
2,
∴(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
)
2+t
2=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20951.png)
-t)
2,解得t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28543.png)
,
∴OB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28543.png)
,
∵OB∥PF,
∴△DOB∽△DFP,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/418092.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/561950.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/561951.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/561952.png)
,解得OD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5689.png)
,
∴D點坐標為(0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5689.png)
);
(3)△OAB的周長不變化,其周長為8.
由(2)得到AB=BG=AF+BE,
∴△OAB的周長=OA+OB+AB=OA+OB+AF+BE=AF+OE=4+4=8;
(4)①證明:OP⊥AB于H,如圖,
∵OP平分∠AOB,
∴OH垂直平分AB,
∴OA=OB,PA=PB,
∴OP平分∠APB,即∠APO=∠BPO,
∵∠POC=∠POA+∠AOC=135°,
∠POD=∠POB+∠BOD=135°,
∴∠POC=∠POD,
在△POC和△POB中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/561953.png)
,
∴△POC≌△POB(ASA),
∴OC=OD,
∵PO平分∠COD,
∴PO⊥CD;
②解:∵∠APO=∠BPO,∠APB=45°,
∴∠APO=∠BPO=22.5°,
而∠OPE=45°,
∴∠HPB=∠BPE=22.5°,
在△BHP和△BEP中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/561954.png)
,
∴△BHP≌△BEP(AAS),
∴PH=PE=4,
∵OP=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,
∴OH=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
-4=4(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
-1)
∴AB=2OH=8(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
-1),
∴△OAB的面積=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×4(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
-1)×8(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
-1)=48-32
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
.
分析:(1)先解有兩個解析式組成的方程組確定P點坐標為(4,4),然后用勾股定理計算OP=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
;
(2)先利用待定系數(shù)法確定直線PC的解析式為y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/335.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
,得到A點坐標為(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
),則AF=OF-OA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2919.png)
;再把△PAF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PGE,
然后利用三角形全等證明AB=BG=AF+BE,設(shè)OB=t,則BE=4-t,AB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2919.png)
+4-t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20951.png)
-t,在Rt△OAB中利用勾股定理可計算得到OB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28543.png)
;接著證明△DOB∽△DFP,
利用相似比可求得OD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5689.png)
,于是得到D點坐標為(0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5689.png)
);
(3)由(2)得到AB=BG=AF+BE,再根據(jù)三角形周長定義得到△OAB的周長=OA+OB+AB=OA+OB+AF+BE=AF+OE=8;
(4)①OP⊥AB于H,由OP平分∠AOB得到OH垂直平分AB,則OA=OB,PA=PB,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得OP平分∠APB,即∠APO=∠BPO,易∠POC=∠POD=135°,根據(jù)“ASA”可判斷△POC≌△POB,則OC=OD,由于PO平分∠COD,根據(jù)等腰三角形三線合一即可得到PO⊥CD;
②由∠APO=∠BPO,∠APB=45°得到∠APO=∠BPO=22.5°,則∠HPB=∠BPE=22.5°,根據(jù)“AAS”可判斷△BHP≌△BEP,則PH=PE=4,所以O(shè)H=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
-4=4(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
-1),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=2OH=8(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
-1),然后根據(jù)三角形面積公式進行計算.
點評:本題考查了反比例函數(shù)的綜合題:掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形和等腰直角三角形的判定與性質(zhì);會運用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段相等;熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算.