Question

（2004•三明）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上從A點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A、C除外），AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．
（1）求證：△AFD∽△CFM；
（2）點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)中是否存在一個(gè)位置使△FMD為等腰三角形？若存在，給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）證△AFD∽△CFM，需找出兩組對(duì)應(yīng)角相等；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，易求得∠MCF=∠FAD，∠MFC=∠MDA．因此還需找出一組對(duì)應(yīng)角相等．已知直徑AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理知：弧AC=弧AD，可得∠MDA=∠MFC，即∠MFC=∠AFD，由此得證；
（2）由（1）知∠M=∠ADF，要使△FMD為等腰三角形，則必須有∠M=∠FDC，因此只要∠FDC=∠ADF即可，這就要求F必須運(yùn)動(dòng)到弧AC的中點(diǎn)．
解答：（1）證明：∵AB是直徑，CD是弦，CD⊥AB，
∴=．
∴∠ADC=∠AFD．
又∵四邊形AFCD內(nèi)接于⊙O，∠FCM=∠FAD，∠CFM=∠ADC，
∴∠AFD=∠CFM．
∴△AFD∽△CFM；

（2）存在，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到弧AC的中點(diǎn)時(shí)，△FMD為等腰三角形．
證明：當(dāng)點(diǎn)F在AC中點(diǎn)時(shí)，∠ADF=∠CDF，
又由（1）△AFD∽△CFM，
∴∠M=∠ADF．
∴∠M=∠CDF．
∴FD=FM，即△FMD為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：解此題的關(guān)鍵是把點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)抽象到相似三角形中來(lái)考慮，培養(yǎng)同學(xué)的推理能力，難易程度適中．