精英家教網(wǎng)如圖所示:A是x軸正半軸上的一個動點,以O(shè)A為邊在x軸下方作矩形OABC,使
AO
AB
=
4
5
,將點B沿經(jīng)過A點的某直線對折到OC邊上D點處,以B為頂點的拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)經(jīng)過D點,并且與過A、D兩點的直線y=mx+n交于P點.
(1)求m的值;
(2)判斷點M(2,-3)能否成為矩形OABC的對稱中心?請說明理由;
(3)若點M(2,-3)始終在矩形OABC內(nèi)部,求S△BDP的取值范圍.
分析:(1)由
AO
AB
=
4
5
,可設(shè)A的坐標(biāo)為(4k,0),B的坐標(biāo)為(0,5k),又由折疊的性質(zhì),即可求得點D的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可求得m的值;
(2)由四邊形OABC是矩形,即可求得矩形OABC對稱中心為(2k,-2.5k),又由點M(2,-3),分別求得k的可能取值,得到矛盾,即可得點M(2,-3)不能成為矩形OABC的對稱中心;
(3)由直線y=mx+n過點A和D,求得直線AD的解析式為:y=
3
4
x-3k,又由拋物線y=a(x-4k)2-5k,過D點,利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式,聯(lián)立拋物線與直線,求得P點的坐標(biāo),由S△BDP=S△DAB+S△PAB與M(2,-3)在矩形內(nèi)部,即可求得S△BDP的取值范圍.
解答:解:(1)∵
AO
AB
=
4
5
,
∴設(shè)A的坐標(biāo)為(4k,0),B的坐標(biāo)為(4k,-5k),
根據(jù)題意得:AD=AB,
∴OD=
AD2-OA2
=3k,
∴D的坐標(biāo)為(0,-3k);
4km+n=0
n=-3k
,
解得:m=
3
4
;

(2)∵四邊形OABC是矩形,
∴矩形OABC對稱中心為(2k,-2.5k),
∵點M(2,-3),
2k=2,則k=1;
-2.5k=-3,則k=
6
5
;
∴矛盾,
∴M點不是矩形OABC的對稱中心;

(3)直線y=mx+n過點A和D,
∴直線AD的解析式為:y=
3
4
x-3k,
設(shè)拋物線y=a(x-4k)2-5k,過D點,
代入得:-3k=a(0-4k)2-5k,解得:a=
1
8k

拋物線為y=
1
8k
(x-4k)2-5k,
聯(lián)立拋物線與直線,
解得P點(14k,
15
2
k)
∴S△BDP=S△DAB+S△PAB=
1
2
×5k×4k+
1
2
×5k×10k=35k2
∵M(2,-3)在矩形內(nèi)部,
2<4k
-3>-5k

∴k>
3
5
,
∴S△BDP>35×(
3
5
2=
63
5
,
即S△BDP
63
5
點評:此題考查了矩形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及三角形面積問題等知識.此題綜合性較強,難度較大,解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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2
x
y=
k
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2
x
,y=
k
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(2)判斷點M(2,-3)能否成為矩形OABC的對稱中心?請說明理由;
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