Question

（2010•房山區(qū)一模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，∠B=30°，AD=DC，E是AB中點，EF∥AC交BC于點F，且EF=，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：過點A作AG⊥BC于點G．根據平行線等分線段定理發(fā)現三角形ABC的中位線EF，從而求得AC的長，再根據30°的直角三角形的性質求得BG、AB的長，再根據直角三角形的面積公式即可求得其斜邊上的高AG；根據等邊三角形的判定，發(fā)現等邊三角形ACD，進一步求得AD的長，從而求得梯形的面積．
解答：解：過點A作AG⊥BC于點G．
∵E是AB中點，且EF∥AC，
∴EF是△ABC的中位線．
∵EF=，
∴AC=2EF=2．
∵∠B=30°且AC⊥AB，
∴∠ACB=60°，BC=4．
∵AD∥BC，
∴∠CAD=60°．
又AD=DC，
∴△ACD是等邊三角形．
∴AD=2．
在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=60°，AC=2，
∴AG=3．
∴S_梯形ABCD=（2+4）•3=9．
點評：此題綜合考查了平行線等分線段定理、三角形的中位線定理、30°的直角三角形的性質、等邊三角形的判定和性質以及直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．